力學10：引力

從牛頓萬有引力定律到引力場，探討引力如何支配天體運動。包含重力加速度變化、軌道運動等核心概念。

核心概念

牛頓萬有引力定律

宇宙中任何兩個粒子都會互相吸引，這種力稱為引力。

$$ F = \frac{GMm}{r^2} $$
  • $G$ 是萬有引力常數，數值為 $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}}$
  • 引力大小與兩物體質量的乘積成正比
  • 引力大小與距離的平方成反比（平方反比定律：$F \propto \frac{1}{r^2}$）
  • 兩個物體之間的引力構成作用力－反作用力對
  • 對於球對稱物體，$r$ 為兩物體重心之間的距離

質量、重量與重力加速度

物體的重量是地球施於物體的引力。

$$ W = \frac{GM_E m}{r^2} $$
$W = mg$

由上述兩式可得重力加速度：

$$ g = \frac{GM}{r^2} $$
  • 地球表面：$g = 9.81 \, \mathrm{m \, s^{-2}}$
  • $g$ 的意義：既是加速度，也是引力場強度
  • 單位：$\mathrm{N \, kg^{-1}}$ 或 $\mathrm{m \, s^{-2}}$

高度對重力的影響

隨著高度增加，物體距離地心越遠，重力加速度會減小。

$$ g = g_0 \frac{R_E^2}{r^2} $$
  • $g$：高度 $h$ 處的重力加速度
  • $g_0$：地球表面的重力加速度
  • $R_E$：地球半徑
  • $r = R_E + h$：距離地心的距離
  • 重量 $W$ 也會隨高度而減小

引力場

引力是一種非接觸力，通過引力場傳遞。

$$ g = \frac{F}{m_0} $$
  • 引力場強度：單位質量所受的引力
  • 是矢量，方向指向產生場的物體
  • 引力場強度 = 重力加速度
  • 遵從平方反比定律
  • 多個物體產生的場可以向量疊加

引力作用下的圓周運動

天體（如衛星、行星）繞另一天體作圓周運動時，引力提供向心力。

$$ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} $$

由此可得：

軌道速率：$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
軌道週期：$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$
  • 軌道半徑越大，速率越小，週期越長
  • 引力垂直於速度方向，不對物體作功
  • 速率保持恆定（但速度方向不斷改變）
  • 地球靜止軌道：週期 = 24 小時，位於赤道上方特定高度

核心公式總結

萬有引力定律：
$F = \frac{GMm}{r^2}$
重力加速度：
$$ g = \frac{GM}{r^2} $$
高度修正：
$g = g_0 \frac{R_E^2}{r^2}$
軌道速率：
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
軌道週期：
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$

經典例題解析

萬有引力定律

題目：

粒子 $X$ 的質量為 $5 \, \mathrm{g}$，粒子 $Y$ 的質量為 $8 \, \mathrm{g}$，兩者相距 $3 \, \mathrm{m}$。

(a) 求 $Y$ 作用於 $X$ 的引力 $F_{XY}$。

(b) 求 $X$ 作用於 $Y$ 的引力 $F_{YX}$。

解法：

(a) 將質量轉換為 kg：$m_X = 0.005 \, \mathrm{kg}$，$m_Y = 0.008 \, \mathrm{kg}$
$$ F_{XY} = \frac{Gm_X m_Y}{r^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 0.005 \times 0.008}{3^2} = 2.96 \times 10^{-16} \, \mathrm{N} $$
方向：指向 $Y$
(b) $F_{XY}$ 和 $F_{YX}$ 形成作用力－反作用力對。
$\therefore F_{YX} = 2.96 \times 10^{-16} \, \mathrm{N}$（指向 $X$）
重力加速度與重量

題目：

月球質量為 $7.35 \times 10^{22} \, \mathrm{kg}$，半徑為 $1.74 \times 10^6 \, \mathrm{m}$。

(a) 求月球表面的重力加速度 $g$。

(b) 求一個質量為 $80 \, \mathrm{kg}$ 的太空人在月球表面的重量。

解法：

(a) 應用公式 $g = \frac{GM}{r^2}$：
$$ g = \frac{GM}{r^2} = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (7.35 \times 10^{22})}{(1.74 \times 10^6)^2} = 1.62 \, \mathrm{m \, s^{-2}} $$
(b) 重量 $W = mg$：
$$ W = mg = 80 \times 1.62 = 129.6 \, \mathrm{N} $$
💡 約為地球表面重量的 1/6
高度變化

題目：

一個物體在地球表面的重量為 $700 \, \mathrm{N}$。地球半徑 $R_E = 6370 \, \mathrm{km}$。

求該物體在距離地面 $12 \, \mathrm{km}$ 高度的重量。

解法：

應用公式 $W = W_0 \frac{R_E^2}{r^2}$，其中 $r = R_E + h = 6370000 + 12000$：
$$ W = mg_0 \frac{R_E^2}{r^2} = 700 \times \frac{6370000^2}{(6370000 + 12000)^2} = 697 \, \mathrm{N} $$
💡 重量僅輕微減少（約 0.4%），因為高度相對地球半徑很小
軌道運動

題目：

火星以圓周軌道圍繞太陽運行，軌道半徑 $r = 2.28 \times 10^{11} \, \mathrm{m}$，軌道週期 $T = 780$ 日。

試估算太陽的質量。

解法：

步驟 1：計算角速率
$$ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{780 \times 24 \times 60 \times 60} = 9.32 \times 10^{-8} \, \mathrm{rad \, s^{-1}} $$
步驟 2：根據 $$ \frac{GMm}{r^2} = mr\omega^2 $$，解出
$$ M = \frac{r^3 \omega^2}{G} = \frac{(2.28 \times 10^{11})^3 \times (9.32 \times 10^{-8})^2}{6.67 \times 10^{-11}} $$
$$ M = 1.54 \times 10^{30} \, \mathrm{kg} $$

互動實驗室：引力與軌道模擬

即時數據
中心質量 ($M$): 1.0 軌道半徑 ($r$): 150 軌道速率 ($v$): 0.0 軌道週期 ($T$): 0.0 s 引力 ($F$): 0.0
💡 觀察：軌道半徑越大，速率越小，週期越長

控制面板

模擬不同質量天體的引力效應
調整衛星與中心天體的距離
改變軌道物體的質量（影響引力大小）

理論重點

  • • 引力提供向心力維持圓周運動
  • • 軌道速率 $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$
  • • 軌道週期 $T \propto r^{3/2}$（克卜勒第三定律）
  • • 引力大小 $F \propto \frac{1}{r^2}$

隨堂測驗