力學08：拋體運動
探索拋體運動的物理原理，從水平拋體到斜角拋射，包含對稱性分析與能量守恆的完整互動學習。
8.1 基本原理
拋體：在重力場中以初速度射出，僅受重力作用的物體。
運動獨立性
水平運動與垂直運動互不干擾。
- 水平：等速運動 ($a_x = 0$)
- 垂直：勻加速運動 ($a_y = g$)
受力分析
拋體運動示意圖
A 球自由下落，B 球同時以水平速度 $u$ 射出。兩球高度相同。
結論：兩球同時落地。因垂直初速均為 0，且受相同重力加速度 $g$ 影響，$t = \sqrt{2h/g}$ 與水平速度無關。
8.2 水平投擲
水平拋體軌跡
拋物線軌跡 (紅色點)，水平速度恆定，垂直速度隨時間增加
關鍵公式
- 飛行時間：$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
- 水平射程：$R = u \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$
飛機高度 $500\text{ m}$，水平速度 $100\text{ m s}^{-1}$。求物資落地的水平距離。($g = 10\text{ m s}^{-2}$)
2. $R = 100 \times 10 = 1000\text{ m}$
8.3 斜角投擲 (一般情況)
斜拋速度分解
藍色箭頭：水平速度恆定 | 紅色箭頭：垂直速度變化
物體以初速 $u$ 及仰角 $\theta$ 射出。
一網球以初速 $20 \text{ m s}^{-1}$，仰角 $30^\circ$ 擊出。求網球到達最高點時的速率。
解析：
1. 在最高點，垂直分速度 $v_y = 0$。
2. 水平速度保持不變，故最高點速度 $v = v_x = u \cos \theta$。
3. $v = 20 \times \cos 30^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.3 \text{ m s}^{-1}$。
8.4 同水平對稱拋體
對稱拋體軌跡對比
不同角度的拋體軌跡 (30°, 45°, 60°) | 45° 射程最遠
當拋體從地面射出並落回同一水平面時，運動具有高度對稱性。
- 當 $\theta = 45^\circ$，射程 $R$ 最大。
- 互餘角 (如 $30^\circ, 60^\circ$) 射程相同。
足球以 $20\text{ m s}^{-1}$、仰角 $30^\circ$ 踢出，落回地面。($g = 10\text{ m s}^{-2}$)
步驟 1：計算垂直分速
$u_y = u \sin 30^\circ = 20 \times 0.5 = 10\text{ m s}^{-1}$
步驟 2：計算飛行時間
$T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 10}{10} = 2\text{ s}$
步驟 3：計算水平射程
$R = u_x \times T = (20 \cos 30^\circ) \times 2 \approx 17.32 \times 2 = 34.64\text{ m}$
8.5 能量轉換
能量轉換圖示
橙色：動能 (K) | 藍色：勢能 (U) | 綠線：總能量 (恆定)
忽略空氣阻力，機械能守恆：$E = K + U = \text{const}$。
最高點能量：
- 勢能 $U$ 最大 ($= mgh_{max}$)。
- 動能 $K$ 最小 ($K_{min} = \frac{1}{2}m(u \cos \theta)^2$)。
總機械能保持不變
一質量 $2\text{ kg}$ 的球以 $10\text{ m s}^{-1}$ 初速，仰角 $60^\circ$ 射出。求球在最高點的動能。
解析：
在最高點，垂直速度為 0，僅剩水平速度。
$v_{top} = u_x = u \cos 60^\circ = 10 \times 0.5 = 5\text{ m s}^{-1}$
最高點動能 $K = \frac{1}{2}mv_{top}^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 = 25\text{ J}$。
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