機械功 (Work)
功的公式
$W = F s \cos \theta$
$F$: 作用力, $s$: 位移, $\theta$: 夾角
- 單位：焦耳 ($\text{J}$) = $\text{N}$ $\text{m}$ 能量轉移的量度
- 特殊情況 當 $\theta = 90^\circ$ 時不做功；當 $90^\circ < \theta \le 180^\circ$ 時做負功
力學06：功、能量與功率
本章節探討機械功、動能、重力勢能、機械能守恆定律以及功率的計算與應用。透過互動模擬，深入理解能量轉換與守恆的奧秘。
核心概念筆記
動能 (Kinetic Energy)
動能公式
$KE = \frac{1}{2} m v^2$
動能定理 (Work-Energy Theorem)
$W_{net} = \Delta KE = KE_f - KE_i$
合力所做的功 $W_{net}$ 等於動能的變化量
重力勢能 (Potential Energy)
重力勢能公式
$PE = m g h$
$h$: 相對於參考平面的垂直高度
- 特性 只取決於垂直高度差，與路徑無關
- 變化量 $\Delta PE = mg(h_f - h_i)$
守恆律與功率
機械能守恆
$KE_i + PE_i = KE_f + PE_f$
僅適用於只有保守力（如重力）做功的情況
功率 (Power)
- $P = \frac{W}{t}$
- $P = F v$
單位：瓦特 ($\text{W}$) = $\text{J}$ $\text{s}$-1
經典題型解析
例題 1：煞車距離與能量
動能定理`質量 $1200\ kg$ 的汽車初速 $15\ m\ s^{-1}$，煞車至停止。若不計高度變化，求克服摩擦力所做的功。`
解析：
`根據能量守恆，動能的損失等於克服摩擦力做的功 $W_f$。`
`$$W_f = \Delta KE = \frac{1}{2}mu^2 - 0$$`
`$$W_f = \frac{1}{2}(1200)(15)^2 = 135,000\ J$$`
`*若已知摩擦力 $f$，可利用 $W_f = f \times d$ 求煞車距離 $d$。`
F = 100 N
例題 2：推箱子的功率
功率定義`以 $100\ N$ 的水平力在 $5\ s$ 內推動箱子前進 $2\ m$。求此力的平均功率。`
解析：
`1. 計算做功：$W = Fs = 100 \times 2 = 200\ J$`
`2. 計算功率：$$P = \frac{W}{t} = \frac{200}{5} = 40\ W$$`
*注意：若箱子勻速移動，則推力等於摩擦力。
h = 5m
例題 3：自由落體
機械能守恆`物體從 $5\ m$ 高處自由落下。求落地瞬間速率。($g=9.81\ m\ s^{-2}$)`
解析：
`$$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh}$$`
`$$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 5} = \sqrt{98.1} \approx 9.90\ m\ s^{-1}$$`
`*質量 $m$ 被消去，表示落地速度與質量無關。`
例題 4：單擺運動
能量轉換`單擺通過最低點時速率為 $2\ m\ s^{-1}$。求它能擺盪到的最大垂直高度。($g=9.81\ m\ s^{-2}$)`
解析：
最高點時動能全轉為勢能：
`$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh \Rightarrow h = \frac{v^2}{2g}$$`
`$$h = \frac{2^2}{2 \times 9.81} = \frac{4}{19.62} \approx 0.204\ m$$`
互動實驗室：功與動能
參數設定
050100
11020
操作說明： 調整施力與質量，觀察物體運動與能量變化的即時關係。
做功 Work
0 J
$W=Fs$
動能 KE
0 J
$\frac{1}{2}mv^2$
速度 v
0.0 m/s
$v = \sqrt{\frac{2KE}{m}}$