力學05：力矩與剛體平衡

本章節探討力的轉動效應（力矩），以及剛體在受力下的平衡條件。透過互動模擬，深入理解槓桿原理與力矩平衡的奧秘。

核心概念筆記

剛體與力矩

  • 剛體 (Rigid Body)：有固定形狀和大小的物體，受力時不會變形。
  • 支點 (Pivot)：剛體圍繞轉動的固定點。
  • 力矩 (Torque, $\tau$)：力產生的轉動效應。

力矩公式

$\tau = F \times d_{\perp}$

$F$: 作用力 ($\text{N}$)
$d_{\perp}$: 力臂/垂直距離 ($\text{m}$)

$\tau = F d \sin\theta$

力矩的方向與單位

力矩是矢量 (Vector)，具有大小和方向。

順時針 (CW)

Clockwise

逆時針 (CCW)

Counter-Clockwise

SI 單位：

牛頓米 ($\text{N m}$)

注意：不能寫成 焦耳 (J)

經典例題

P F = 30 N 60°

題目：

如圖所示，一支長 $0.4 \text{ m}$ 的棒與水平成 $60^\circ$。一垂直向上的力 $F=30\text{ N}$ 作用於棒端。求該力對 P 點的力矩。

例題 2：尋找未知距離 (平衡條件)

考試重點

題目：

一條均勻直尺支點在中央。左側距離支點 1.2 m 處掛一個 50 N 的重物。右側掛一個 30 N 的重物，若要保持平衡，30 N 的重物應掛在距離支點多遠處 ($d$)？

P 50N 1.2m 30N d?

解題步驟：

  1. 應用轉動平衡條件：$\Sigma \tau_{CW}$ = $\Sigma \tau_{CCW}$
  2. 找出產生逆時針力矩的力：左側 50 N 重物。
    $\tau_{CCW} = 50 \times 1.2$
  3. 找出產生順時針力矩的力：右側 30 N 重物。
    $\tau_{CW} = 30 \times d$
  4. 列式求解：

    $50 \times 1.2 = 30 \times d$

    $60 = 30d$

    $d = 2 \text{ m}$

答案：2 m

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題目附圖將顯示於此

分析處於平衡狀態的物體

解題策略四步曲

當遇到複雜的剛體平衡問題（如靠牆梯子、吊臂、懸掛告示牌）時，請遵循以下步驟：

1

選取研究對象

確定要分析的剛體（例如：梯子）。

2

繪製受力圖 (FBD)

標示所有外力。注意支點的反作用力（通常有 $R_x$, $R_y$）。

3

列出平衡方程

$\Sigma F = 0$ $\Sigma \tau = 0$
4

解方程

技巧：對未知力最多的點取力矩 ($\Sigma \tau_{pivot} = 0$)。

1. 剛體模型：一條均勻橫樑，一端有鉸鏈固定，另一端由纜繩拉住。

互動實驗室：槓桿平衡

左側物體 (m1)

右側物體 (m2)

拖動滑桿觀察力矩平衡的變化。

隨堂測驗