弧度 (Radian)
弧度是國際單位制中角的單位，定義為弧長與半徑的比。
$$ \theta = \frac{s}{r} $$
- 單位：$\text{rad}$ (弧度)
- 圓周角：$2\pi \text{ rad} = 360^\circ$
- $90° = \frac{\pi}{2}$ rad，$180° = \pi$ rad
力學09：勻速圓周運動
從弧度與角速度的定義，到向心力與向心加速度的應用，深入理解圓周運動的物理本質。
核心概念
角速度 (Angular Velocity)
角速度 $\omega$ 描述角位移改變的快慢，定義為每單位時間的角位移。
$$ \omega = \frac{\theta}{t} $$
- 單位：$\text{rad s}^{-1}$
- 角速度恆定 → 勻速圓周運動
- 半徑不同但 $\omega$ 相同時，外圈速度較快
線速率 (Linear Speed)
線速度的方向沿圓周的切線，量值稱為線速率。
$$ v = r\omega $$
半徑越大，相同 $\omega$ 下線速率越大
週期 (Period)
週期 $T$ 是完成一次完整圓周運動所需的時間。
$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{v} $$
頻率$f = \frac{1}{T}$，單位 Hz
向心加速度
物體作圓周運動時，速度方向不斷改變，產生指向圓心的加速度。
$$ a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2 $$
方向：永遠指向圓心（與速度垂直）
向心力
根據牛頓第二定律，向心力是使物體作圓周運動的淨力。
$$ F_c = \frac{mv^2}{r} = mr\omega^2 $$
向心力不是新的力，而是其他力的合力
勻速圓周運動的應用
在平路上轉彎
汽車在平路轉彎時，側向摩擦力提供向心力。
$f = \frac{mv^2}{r}$ → $r_{min} = \frac{mv^2}{f_{max}}$
速度過高或轉彎過急會導致打滑
在傾斜路面轉彎
傾斜路面使法向力的水平分量提供部分向心力。
$$ \tan\theta = \frac{v^2}{gr} $$
- • 速度低於設計速率 → 向外滑
- • 速度高於設計速率 → 向內滑
在空中轉彎
飛機傾斜時，升力的水平分量提供向心力。
$L\sin\theta = \frac{mv^2}{r}$ (水平)
$L\cos\theta = mg$ (垂直)
錐擺 (Conical Pendulum)
擺錘在水平圓上運動，張力的水平分量提供向心力。
$T\sin\theta = mr\omega^2$ (水平)
$T\cos\theta = mg$ (垂直)
$T = m\omega^2 L$
經典例題解析
角速率與週期
題目：
學生 A 和學生 B 在旋轉木馬上，距離圓心分別為 $18\text{ m}$ 和 $12\text{ m}$，線速率均為 $5\text{ m s}^{-1}$。求各自的角速率和週期。
解法：
應用 $$ \omega = \frac{v}{r} $$
學生 A：$\omega_A = \frac{5}{18} = 0.278 \text{ rad s}^{-1}$
學生 B：$\omega_B = \frac{5}{12} = 0.417 \text{ rad s}^{-1}$
應用 $$ T = \frac{2\pi r}{v} $$
學生 A：$T_A = \frac{2\pi \times 18}{5} = \mathbf{22.6 \text{ s}}$
學生 B：$T_B = \frac{2\pi \times 12}{5} = \mathbf{15.1 \text{ s}}$
向心加速度
題目：
過山車在彎道行駛，彎道半徑 $21\text{ m}$，車輛用 $2.6\text{ s}$ 完成四分一圓弧。求線速率和向心加速度。
解法：
$$ v = \frac{\frac{1}{4} \times 2\pi \times 21}{2.6} = 12.7 \text{ m s}^{-1} $$ $$ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{12.69^2}{21} = 7.67 \text{ m s}^{-2} $$
平路轉彎
題目：
汽車質量 $1000\text{ kg}$，最大側向摩擦力 $9000\text{ N}$。以 $60\text{ km h}^{-1}$ 轉彎時，最小轉彎半徑是多少？
解法：
$$ r_{min} = \frac{mv^2}{f_{max}} = \frac{1000 \times \left(\frac{60}{3.6}\right)^2}{9000} = 30.9 \text{ m} $$
飛機轉彎
題目：
飛機以 $280\text{ km h}^{-1}$ 在半徑 $2400\text{ m}$ 的水平圓上轉彎。求傾斜角度。
解法：
$$ \tan\theta = \frac{v^2}{gr} = \frac{\left(\frac{280}{3.6}\right)^2}{9.81 \times 2400} $$ $$ \theta = 14.4^\circ $$
互動實驗室：圓周運動模擬
即時數據
角速度 $\omega$:0.00 rad/s線速率 $v$:0.00 m/s向心加速度 $a_c$:0.00 m/s²向心力 $F_c$:0.00 N週期 $T$:0.00 s
觀察向心力箭頭（橙色）永遠指向圓心，速度箭頭（紫色）沿切線方向
控制面板
計算挑戰
點擊下方按鈕生成題目。