熱學05：氣體定律與分子運動論

從宏觀的壓強、體積、溫度關係，深入微觀的氣體分子碰撞模型。

核心概念

壓強 (Pressure)

壓強的定義是作用於每單位面積的法向力。

$$ p = \frac{F}{A} $$
  • 單位：帕斯卡 (Pa) 或 $N m^-2$。
  • 大氣壓強：$1 \text{ atm} \approx 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$。

波義耳定律 (Boyle's Law)

當氣體質量和溫度不變時，壓強與體積成反比。

$$ p \propto \frac{1}{V} \implies p_1 V_1 = p_2 V_2 $$

適用條件：恆溫 (Isothermal)

溫度關係定律

查理定律 (Charles's Law):
$$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad (p \text{ 不變}) $$
氣壓定律 (Pressure Law):
$$ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \quad (V \text{ 不變}) $$

注意：溫度 $T$ 必須使用開氏溫標 (Kelvin)。

$T(K) = T(^\circ C) + 273$

普適氣體定律

結合所有氣體定律，引入摩爾數 $n$。

$$ pV = nRT $$
  • $R$: 普適氣體常數 ($8.31 \text{ J mol}^{-1} \text{K}^{-1}$)。
  • $n$: 摩爾數 ($n = N/N_A$)。
  • 理想氣體：分子間無作用力，碰撞完全彈性。

氣體分子運動論

微觀解釋宏觀現象：

$$ pV = \frac{1}{3} N m \overline{c^2} $$
  • $N$: 氣體分子總數
  • $m$: 每個分子的質量
  • $\overline{c^2}$: 方均速率

分子平均動能：

$$ \text{KE}_{\text{avg}} = \frac{3}{2} k T = \frac{3}{2} \frac{R}{N_A} T $$

結論：氣體的溫度是其分子平均動能的量度。溫度越高，分子運動越快。

經典例題解析

波義耳定律

題目：

針筒內空氣體積由 $40 \text{ cm}^3$ 壓縮至 $32 \text{ cm}^3$，初始壓強為 $100 \text{ kPa}$。假設溫度不變，求最終壓強。

解法：

$$ p_1 V_1 = p_2 V_2 $$ $$ 100 \times 40 = p_2 \times 32 $$ $$ p_2 = \frac{4000}{32} = 125 \text{ kPa} $$
普適氣體定律

題目：

密封瓶內有 $500 \text{ cm}^3$ 氣體，溫度 $25^\circ C$，壓強 $120 \text{ kPa}$。求氣體摩爾數。($R=8.31$)

解法：

單位換算：$V = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$, $T = 298 \text{ K}$, $p = 1.2 \times 10^5 \text{ Pa}$
$$ n = \frac{pV}{RT} = \frac{120000 \times 5 \times 10^{-4}}{8.31 \times 298} \approx 0.0242 \text{ mol} $$

互動實驗室：理想氣體模擬

即時數據
壓強 ($P$):0.00體積 ($V$):0.00溫度 ($T$):0.00
觀察粒子撞擊牆壁的頻率與速度變化。體積縮小時，撞擊更頻繁（壓強上升）。

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