電池內阻
實際電源都有內阻，當電流通過時會消耗部分能量。
$$ V = \varepsilon - Ir $$
- $V$：端電壓（外部電阻兩端的電壓）
- $\varepsilon$：電動勢（電源給予的總能量）
- $I$：電路電流
- $r$：內阻（電源內部的電阻）
電和磁 03：實際電路
學習電池內阻、電動勢與端電壓的關係，掌握電池連接方式和功率輸送效率的計算方法。
核心概念
電動勢與端電壓
電動勢是電源給予每單位電荷的能量，端電壓是外部電路兩端的電壓。
電流公式：
$$ I = \frac{\varepsilon}{R + r} $$
關係式：
$$ \varepsilon = V + Ir = IR + Ir = I(R + r) $$
電池連接
電池可以串聯或並聯連接，以提供不同的電壓和電流能力。
串聯連接（$n$ 個電池）：
$$ \varepsilon_{total} = n\varepsilon, \quad r_{total} = nr $$
電壓增加，內阻增加
並聯連接（$n$ 個電池）：
$$ \varepsilon_{total} = \varepsilon, \quad r_{total} = \frac{r}{n} $$
電壓不變，內阻減小，電流能力增加
功率輸送與效率
電池輸出的功率分為外部電阻消耗和內部損耗兩部分。
功率公式：
$$ P_{load} = IV = I^2R $$
$$ P_{internal} = I^2r $$
$$ P_{total} = I\varepsilon $$
效率：
$$ \eta = \frac{P_{load}}{P_{total}} \times 100\% = \frac{R}{R + r} \times 100\% $$
最大功率傳輸
當外部電阻等於內阻時，電池輸出到外部電阻的功率最大。
條件：
$$ R = r $$
最大功率：
$$ P_{max} = \frac{\varepsilon^2}{4r} $$
內阻的影響
電池內阻會導致端電壓下降，並降低電路效率。
端電壓下降：
效率影響：
經典例題解析
電池內阻計算
例題 1
題目：
一個電池的電動勢為 $12 \text{ V}$，內阻為 $2 \Omega$。當連接到 $10 \Omega$ 的外部電阻時，求：(a) 電流 (b) 端電壓 (c) 輸送到外部電阻的功率。
解法：
(a) 應用 $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$：
$$ I = \frac{12}{10 + 2} = \frac{12}{12} = 1 \text{ A} $$
(b) 應用 $V = IR$：
$$ V = 1 \times 10 = 10 \text{ V} $$
(c) 應用 $P = I^2R$：
$$ P = 1^2 \times 10 = 10 \text{ W} $$
$$ I = \frac{12}{10 + 2} = \frac{12}{12} = 1 \text{ A} $$
(b) 應用 $V = IR$：
$$ V = 1 \times 10 = 10 \text{ V} $$
(c) 應用 $P = I^2R$：
$$ P = 1^2 \times 10 = 10 \text{ W} $$
串聯電池
例題 2
題目：
兩個相同的電池，每個電動勢 $6 \text{ V}$、內阻 $1 \Omega$。若將它們串聯連接到 $4 \Omega$ 的外電阻，求通過電路的電流和每個電池的端電壓。
解法：
總電動勢：$\varepsilon_{total} = 2 \times 6 = 12 \text{ V}$
總內阻：$r_{total} = 2 \times 1 = 2 \Omega$
總電阻：$R_{total} = 4 + 2 = 6 \Omega$
電流：$$ I = \frac{12}{6} = 2 \text{ A} $$
每個電池的端電壓：$$ V = \varepsilon - Ir = 6 - 2 \times 1 = 4 \text{ V} $$
總內阻：$r_{total} = 2 \times 1 = 2 \Omega$
總電阻：$R_{total} = 4 + 2 = 6 \Omega$
電流：$$ I = \frac{12}{6} = 2 \text{ A} $$
每個電池的端電壓：$$ V = \varepsilon - Ir = 6 - 2 \times 1 = 4 \text{ V} $$
並聯電池與效率
例題 3
題目：
三個相同的電池，每個電動勢 $9 \text{ V}$、內阻 $3 \Omega$，並聯連接到 $6 \Omega$ 的外電阻。求：(a) 電流 (b) 輸送到外部電阻的功率 (c) 電路效率。
解法：
總電動勢：$\varepsilon_{total} = 9 \text{ V}$
總內阻：$r_{total} = \frac{3}{3} = 1 \Omega$
總電阻：$R_{total} = 6 + 1 = 7 \Omega$
(a) 電流：$$ I = \frac{9}{7} = 1.29 \text{ A} $$
(b) 外部電阻功率：$$ P_{load} = I^2R = (1.29)^2 \times 6 = 9.98 \text{ W} $$
(c) 效率：$$ \eta = \frac{R}{R + r} \times 100\% = \frac{6}{6 + 1} \times 100\% = 85.7\% $$
總內阻：$r_{total} = \frac{3}{3} = 1 \Omega$
總電阻：$R_{total} = 6 + 1 = 7 \Omega$
(a) 電流：$$ I = \frac{9}{7} = 1.29 \text{ A} $$
(b) 外部電阻功率：$$ P_{load} = I^2R = (1.29)^2 \times 6 = 9.98 \text{ W} $$
(c) 效率：$$ \eta = \frac{R}{R + r} \times 100\% = \frac{6}{6 + 1} \times 100\% = 85.7\% $$
最大功率傳輸
例題 4
題目：
一個電池的電動勢為 $6 \text{ V}$、內阻為 $1 \Omega$。當連接到可變電阻時，求最大輸出功率和此時的電阻值。
解法：
最大功率傳輸條件：$R = r = 1 \Omega$
最大功率：$$ P_{max} = \frac{\varepsilon^2}{4r} = \frac{6^2}{4 \times 1} = \frac{36}{4} = 9 \text{ W} $$
此時電流：$$ I = \frac{\varepsilon}{R + r} = \frac{6}{1 + 1} = 3 \text{ A} $$
端電壓：$$ V = IR = 3 \times 1 = 3 \text{ V} $$
最大功率：$$ P_{max} = \frac{\varepsilon^2}{4r} = \frac{6^2}{4 \times 1} = \frac{36}{4} = 9 \text{ W} $$
此時電流：$$ I = \frac{\varepsilon}{R + r} = \frac{6}{1 + 1} = 3 \text{ A} $$
端電壓：$$ V = IR = 3 \times 1 = 3 \text{ V} $$
逐步解題導師
題目：
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互動實驗室：電池內阻模擬
即時數據
電動勢 $\varepsilon$：12.0 V內阻 $r$：2.0 Ω外電阻 $R$：10.0 Ω電流 $I$：1.00 A端電壓 $V$：10.0 V輸出功率 $P$：10.0 W效率 $\eta$：83.3%
💡 調整參數觀察內阻對電流的影響 | 觀察功率曲線的變化
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實驗觀察
- 觀察內阻如何影響端電壓
- 比較輸出功率與效率的關係
- 測試最大功率傳輸條件 ($R=r$)
- 觀察不同電阻下的功率曲線