03：納米物體與納米科技

探索納米世界的奇妙特性，從表面效應到量子效應，以及電子顯微鏡技術的突破

核心概念

納米尺度的定義

納米（nanometer, nm）是一個長度單位，用於測量極微小的物體。納米科技處理的尺度範圍從 $1 \text{ nm}$ 到 $100 \text{ nm}$。

$1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$
  • 原子直徑：約 $0.1 \text{ nm}$
  • DNA 直徑：約 $2 \text{ nm}$
  • 可見光波長：約 $400-700 \text{ nm}$
  • 頭髮直徑：約 $100,000 \text{ nm}$

納米材料的物理特性

當材料尺寸進入納米尺度時，會展現出與塊體材料截然不同的物理特性。

電學特性

導電率可能顯著提高或降低，出現量子限制效應

力學特性

強韌且堅硬，例如碳納米管

光學特性

顏色隨尺寸變化，金納米粒子可呈現紅色而非金色

表面效應

當物體尺寸變小時，表面面積與體積之比會顯著增加。這意味著表面原子佔總原子數的比例增大。

$$ \frac{A}{V} = \frac{6a^2}{a^3} = \frac{6}{a} $$
  • 表面原子：化學性質更活躍，易於反應
  • 催化作用：納米粒子常用作催化劑
  • 吸附能力：表面積大，吸附能力強

量子效應

在納米尺度下，量子力學效應變得顯著。電子的波動特性會影響材料的性質。

量子點（Quantum Dots）

半導體納米粒子，發光顏色可通過尺寸調整

量子隧道效應

電子可穿過經典物理中無法穿過的勢壘

能級量化

連續能級變為分立能級，影響電學和光學性質

經典例題解析

表面效應計算

題目：

一個邊長為 $1 \text{ mm}$ 的立方體被分割成 $10^9$ 個邊長為 $1 \text{ nm}$ 的小立方體。求（a）原立方體的表面面積；（b）表面面積與體積之比。

解法：

（a）表面面積：
$$ A = 6 \times (1 \times 10^{-3})^2 = 6 \times 10^{-6} \text{ m}^2 $$

（b）表面面積與體積之比：
$$ \frac{A}{V} = \frac{6 \times 10^{-6}}{(1 \times 10^{-3})^3} = 6000 \text{ m}^{-1} $$
德布羅意波長

題目：

電子顯微鏡中，電子被加速電勢 $V = 50 \text{ kV}$ 加速。求電子的德布羅意波長。（已知 $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$，$e = 1.60 \times 10^{-19} \text{ C}$，$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$）

解法：

根據德布羅意波長公式：
$$ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} $$
$$ = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.60 \times 10^{-19} \times 50 \times 10^3}} $$
$$ = 5.49 \times 10^{-12} \text{ m} $$
顯微鏡分辨率

題目：

電子顯微鏡使用孔徑直徑 $d = 0.1 \text{ mm}$ 的電子槍。若電子的德布羅意波長為 $5.49 \times 10^{-12} \text{ m}$，求顯微鏡的分辨角。

解法：

根據分辨角公式：
$$ \theta_0 = \frac{1.22\lambda}{d} $$
$$ = \frac{1.22 \times 5.49 \times 10^{-12}}{0.1 \times 10^{-3}} $$
$$ = 6.70 \times 10^{-8} \text{ rad} $$

互動實驗室：納米粒子模擬

即時數據
粒子數量： 0 粒子尺寸： 0 nm 總表面積： 0 總體積： 0 表面積/體積： 0
💡 觀察粒子尺寸變小時，表面積與體積比如何變化

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關鍵概念

  • • 表面效應：粒子越小，表面積與體積比越大
  • • 活性原子：表面原子化學性質更活躍
  • • 量子效應：尺寸小於電子的德布羅意波長時，量子效應顯著

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