02：盧瑟福模型與原子光譜

核心概念

盧瑟福散射實驗

盧瑟福的 $\alpha$ 粒子散射實驗揭示了原子內部結構。$\alpha$ 粒子（氦原子核）射向金箔，觀察其偏轉角度。

大部分 $\alpha$ 粒子：直接穿過，無明顯偏轉
小部分 $\alpha$ 粒子：發生偏轉
極少數 $\alpha$ 粒子：反彈回去（大角度偏轉）

結論：原子大部分體積是空的，正電荷和質量集中在微小的原子核中。

盧瑟福原子模型

根據散射實驗結果，盧瑟福提出了新的原子模型：

原子核：帶正電，位於原子中心
電子：帶負電，在原子核外繞核運動
大部分空間：電子與原子核之間是空的

局限：根據古典電磁理論，加速運動的電子應不斷輻射能量而墜入原子核，但實際情況並非如此。

線狀光譜

當元素被加熱或放電時，會發射特定波長的光，形成線狀光譜。

發射光譜：黑色背景上顯示明亮的彩色線條

吸收光譜：連續光譜上顯示黑色的吸收線

每種元素都有獨特的線狀光譜，可用於識別元素。

玻爾氫原子模型

玻爾提出了氫原子的量子化模型，成功解釋了線狀光譜：

電子只能在特定軌道上運動（量子化軌道）
軌道半徑：$$ r_n = n^2 r_1 $$
能級能量：$$ E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV} $$
角動量量子化：$$ m_e v_n r_n = \frac{nh}{2\pi} $$

電子躍遷：電子從高能級躍遷到低能級時，發射光子；從低能級躍遷到高能級時，吸收光子。

經典例題解析

電子躍遷

題目：

氫原子中電子從 $n=3$ 躍遷至 $n=2$，求發射光子的波長。（已知 $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J·s}$，$c = 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$，$e = 1.60 \times 10^{-19} \text{ C}$）

解法：

$$ \begin{aligned} E_3 &= -\frac{13.6}{3^2} = -1.51 \text{ eV} \\ E_2 &= -\frac{13.6}{2^2} = -3.40 \text{ eV} \\ \Delta E &= E_3 - E_2 = 1.89 \text{ eV} \\ &= 1.89 \times 1.60 \times 10^{-19} = 3.02 \times 10^{-19} \text{ J} \\ \lambda &= \frac{hc}{\Delta E} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)}{3.02 \times 10^{-19}} \\ &= 6.59 \times 10^{-7} \text{ m} \end{aligned} $$

軌道半徑

題目：

求電子在 $n=3$ 軌道的半徑。（已知氫原子基態軌道半徑 $r_1 = 5.29 \times 10^{-11} \text{ m}$）

解法：

$$ \begin{aligned} r_3 &= n^2 r_1 \\ &= 3^2 \times 5.29 \times 10^{-11} \\ &= 9 \times 5.29 \times 10^{-11} \\ &= 4.76 \times 10^{-10} \text{ m} \end{aligned} $$

能量計算

題目：

氫原子中的電子從 $n=4$ 躍遷至 $n=1$，求發射光子的能量。

解法：

$$ \begin{aligned} E_4 &= -\frac{13.6}{4^2} = -0.85 \text{ eV} \\ E_1 &= -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV} \\ \Delta E &= E_4 - E_1 = 12.75 \text{ eV} end{aligned} $$

互動實驗室：玻爾氫原子模型

即時數據

量子數 ($n$): 1

能量 ($E_n$): -13.60 eV

軌道半徑 ($r_n$): 0.53 Å

躍遷信息

選擇起始能級和目標能級進行躍遷

💡 選擇能級進行電子躍遷，觀察光子發射或吸收

控制面板

初始能級 ($n_i$)

目標能級 ($n_f$)

計算挑戰

點擊下方按鈕生成題目。